Un peu de calculs ...

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Sur cette page, vous trouverez les calculs que j'ai réalisés sur les 150 premières secondes du décollage de Saturn 5.  Tout d'abords voici le but de mes calculs, à savoir l'évolution de l'altitude de la fusée en fonction du temps :

Les calculs :

Avant de se lancer dans des calculs faramineux, il faut imposer quelques hypothèses simplificatrices. Les résultats s'en trouveront alors très légèrement modifiés.

Hypothèses :

• g est supposé constant avec l'altitude. Pour information, à 62 km d'altitude, g = 9,53m/s²  
• la vitesse d'injection dans les tuyères Ve et le débit massique Qe restent constants donc la poussée qu'ils engendrent aussi.
• La fusée suit une ascension verticale de 90° par rapport au sol. Dans la réalité Saturn 5 s'incline de ± 18° autour de la verticale.
• la formule utilisée pour la détermination de la masse volumique de l'air est appréciable jusqu'à 50km. on poussera cette limite à 62 km.

La fusée est soumise à 3 forces :

• son poids (celui-ci diminue au fur et à mesure que l'ergol est éjecté)
• la force de traînée
• la poussée des réacteurs

P = ( Mi - Qe.t.5 ) . g T = ½.rho.S.Cx.v² F = 5.Qe.Ve  ρ= 1,225 exp( - 0,139.10-8.z² - 0,946.10-4.z)

Que de paramètres dans ces formules :
 

Mi : masse initiale de la fusée                                          Mi = 3 000 t

Qe : débit massique de l’ergol                                          Qe = 2 700 kg/s

g : constante de gravitation terrestre                              g = 9.82m/s²

ρ : masse volumique de l’air

S : maître couple de la fusée                                           S = 80 m²

Cx : coefficient de traînée aérodynamique                        Cx = 0,1

Ve : vitesse d’injection de l’ergol dans les tuyères             Ve = 2500m/s

 
Bien sûr pour la suite des calculs, a est l’accélération, v la vitesse et z l’altitude.

On va procéder par calculs pas à pas. Il faut alors fixer un pas de calculs Δt_i. Pour ma part je prends Δt_i = 0,5s. Je vais donc faire un calculs à chaque instant t_i, soit 300 instants … Le mieux de faire faire ces calculs avec l’aide d’un calculateur informatique.

On part de la relation fondamentale de la dynamique :

(Mi – Qe.t.5).γ = F – P – T

Mais on se rend facilement compte que l’accélération de la fusée dépend de la force de traînée et donc de l’altitude de la fusée. C’est un serpent qui se mort la queue. Pour simplifier, on prendra l’altitude à l’instant t_i-1 afin de calculer la force de traînée en t_i.

Donc γ_i = [( F – T_i-1 )/(Mi –Qe. t_i)] – g

Une fois l’accélération déterminée, on trouve la vitesse en intégrant :

v_i = v _i-1 + γ_i. Δt_i

L’altitude en découle :

z_i = z_i-1 + v_i-1. Δt_i + ½ γ_i.( Δt_i  )²

Avec cette altitude, on peut déterminer la masse volumique de l’air :

Et après ça la force de traînée :

T_i = ½.ρ_i.Cx.S.( v_i )²

Et on réitère cette méthode pour tout les t_i. 

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Je remercie Pole de Futura-Sciences pour son aide précieuse pour le calcul informatisé. La méthode de calcul est tirée d'un document "Le vol de la fusée" en libre accès sur le net. Cette note technique a été rédigée par l'ANSTJ.

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