Un peu de calculs ...

 


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Sur cette page, vous trouverez les calculs que j'ai réalisés sur les 150 premières secondes du décollage de Saturn 5.  Tout d'abords voici le but de mes calculs, à savoir l'évolution de l'altitude de la fusée en fonction du temps :


Les calculs :

Avant de se lancer dans des calculs faramineux, il faut imposer quelques hypothèses simplificatrices. Les résultats s'en trouveront alors très légèrement modifiés.


Hypothèses :

La fusée est soumise à 3 forces :



P = ( Mi - Qe.t.5 ) . g

T = ½.rho.
S.Cx.v²

F = 5.Qe.Ve

 ρ= 1,225 exp( - 0,139.10-8.z² - 0,946.10-4.z)

 



Que de paramètres dans ces formules :
 

Mi : masse initiale de la fusée                                          Mi = 3 000 t

Qe : débit massique de l’ergol                                          Qe = 2 700 kg/s

g : constante de gravitation terrestre                              g = 9.82m/s²

ρ : masse volumique de l’air

S : maître couple de la fusée                                           S = 80 m²

Cx : coefficient de traînée aérodynamique                        Cx = 0,1

Ve : vitesse d’injection de l’ergol dans les tuyères             Ve = 2500m/s

 
Bien sûr pour la suite des calculs, a est l’accélération, v la vitesse et z l’altitude.

On va procéder par calculs pas à pas. Il faut alors fixer un pas de calculs Δti. Pour ma part je prends Δti = 0,5s. Je vais donc faire un calculs à chaque instant ti, soit 300 instants … Le mieux de faire faire ces calculs avec l’aide d’un calculateur informatique.

On part de la relation fondamentale de la dynamique :

(Mi – Qe.t.5).γ = F – P – T

Mais on se rend facilement compte que l’accélération de la fusée dépend de la force de traînée et donc de l’altitude de la fusée. C’est un serpent qui se mort la queue. Pour simplifier, on prendra l’altitude à l’instant ti-1 afin de calculer la force de traînée en ti.

Donc γi = [( F – Ti-1 )/(Mi –Qe. ti)] – g

Une fois l’accélération déterminée, on trouve la vitesse en intégrant :

vi = v i-1 + γi. Δti

L’altitude en découle :

zi = zi-1 + vi-1. Δti + ½ γi.( Δti 

Avec cette altitude, on peut déterminer la masse volumique de l’air :

ρi = 1,225.exp( - 0,139.10-8.zi² – 0,946.10-4.zi)

Et après ça la force de traînée :

Ti = ½.ρi.Cx.S.( vi

Et on réitère cette méthode pour tout les ti

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Je remercie Pole de Futura-Sciences pour son aide précieuse pour le calcul informatisé. La méthode de calcul est tirée d'un document "Le vol de la fusée" en libre accès sur le net. Cette note technique a été rédigée par l'ANSTJ.

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